P1880 [NOI1995]石子合并

2019-05-04 09:39:24来源:博客园 阅读 ()

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蒟蒻做NOI系列的题,好慌......

题目描述

在一个圆形操场的四周摆放N堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分。

试设计出1个算法,计算出将N堆石子合并成1堆的最小得分和最大得分.

输入输出格式

输入格式:

数据的第1行试正整数N,1≤N≤100,表示有N堆石子.第2行有N个数,分别表示每堆石子的个数.

输出格式:

输出共2行,第1行为最小得分,第2行为最大得分.

输入输出样例

输入样例#1: 
4
4 5 9 4
输出样例#1: 
43
54

解析:

本蒟蒻第一次膜拜NOI这么难的题,,,据说这题很多人用贪心做,导致直接爆了30。。。
本人虽然一上来就知道这绝对是道DP(绿题怎么可能是贪心~~~),但是是在orz了许多大佬的题解和董永建新出的某本书后才想出了正解。。。没办法,我反射弧长
下面我就来和大家分享一下这道题的解法。
这道题属于动态规划中的“区间DP”,顾名思义,区间DP是以区间长度作为阶段的,在本题中,所谓的“区间长度”其实可以形象地理解成一段区间合并的花费。
让我们先从最简单的情况入手。
假设现在这里有一条链(先不考虑环),有四个数,分别是1,2,3,4。
它们合并de情况有很多种,从最终状态考虑。分别是【
(1),(2,3,4)】【(1,2),(3,4)】【(1,2,3),(4)】这三种;
毫无疑问,肯定是最后一种情况最省花费,研究它会发现,我们应该在(1,2,3)中再寻找最省花费的合并方法,而这些方法跟后边的合并显然没有关系,这也就符合无后效性原则。
接下来我们再把它抽象一点,假如我们现在得到了一条链。并且我们只需要去做最后的合并。
把这两部分合并起来,显然是左边的已有花费加上右边已有花费再加上他们的和(每次合并的花费)
以此类推到更多堆石子的情况。对于j到end之间的石子,去枚举“界限”,设在第k堆石子处分开,也就是第j到k堆合并,第k到end堆合并。
就有了状态转移方程:(f[i][j]表示i堆到j堆最小花费,g[i][j]表示从i堆到j堆最大花费)
f[j][end]=min(f[j][end],f[j][k]+f[k+1][end]+sum(j,end));
g[j][end]=max(g[j][end],g[j][k]+g[k+1][end]+sum(j,end));

 还有一个比较难想的事情是如何把环转化成链,本蒟蒻的第一想法是去枚举端点,每次枚举一次,做一次DP,可是这样就是O(n4)的时间复杂度,即使对于n<=100来说也太大了。

  于是董永建老人家为我们提供了一个更妙的思想。把这个环储存成一个更大的链。每次去枚举开头,自然就有了结尾。而且每种断开的方法都是这条链的字串(不是子序列!!!)。

  最后打擂台取最大值即可。

  还有一点,经常被人们忽略,就是调用的状态是否已经计算过。对于这道题,循环变量i表示在做第i-1次合并,所以合并是由小到大的,之前的状态是已经计算过的。

  最后上AC代码

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,a[301],Prefix[200],end,f[205][205],g[205][205],maxn,minn=21370444;
//Prefix前缀和,只需要进行线性的预处理,即可享受常数的求和方法(手动滑稽)(蒟蒻英语不好,上网百度的) int sum(int i,int j)//求第i堆到第j堆的和 { return Prefix[j]-Prefix[i-1]; } int main() { memset(f,20,sizeof(f));//初始化 cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>a[i]; a[i+n]=a[i];//构造更长的链 } for(int i=1;i<=n*2;i++) { Prefix[i]=a[i]+Prefix[i-1];//打前缀和 f[i][i]=0;//自己和自己合并不需要花费 g[i][i]=0; } for(int i=2;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=2*n-i+1;j++)//j表示合并的左端点 { end=i+j-1;//end表示合并的右端点 for(int k=j;k<end;k++)//枚举断点 { f[j][end]=min(f[j][end],f[j][k]+f[k+1][end]+sum(j,end)); g[j][end]=max(g[j][end],g[j][k]+g[k+1][end]+sum(j,end)); } } } for(int i=1;i<=n;i++)//打擂台求最大最小 { maxn=max(g[i][i+n-1],maxn); minn=min(f[i][i+n-1],minn); } cout<<minn<<endl<<maxn<<endl; return 0;//终于结束了。。。 }

  

附上原题地址~~~:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1880 ;
祝大家NOIP2019 RP++~~~

原文链接:https://www.cnblogs.com/szmssf/p/10802339.html
如有疑问请与原作者联系

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