Frangi形态学滤波详解

利用Hessian矩阵的滤波函数Frangi，网上的文章只是把论文中的公式贴出来了。

我感觉分析下滤波函数是怎么起作用，还是挺有意思的一件事情。

Frangi滤波方法的论文是：

　　Frangi A F, Niessen W J, Vincken K L, et al. Multiscale vessel enhancement filtering[C]//International Conference on Medical Image Computing and Computer-Assisted Intervention. Springer Berlin Heidelberg, 1998: 130-137. 

Matlab版程序在：

　　https://ww2.mathworks.cn/matlabcentral/fileexchange/24409-hessian-based-frangi-vesselness-filter?s_tid=gn_loc_drop

我改写了一个python版的在：

　　https://github.com/yimingstyle/Frangi-filter-based-Hessian

这里我先只说二维方法。

Hessian矩阵是：

$$H=\left[ \begin{matrix} I_{xx} & I_{xy} \\ I_{yx} & I_{yy}  \end{matrix} \right] \tag{1} $$

由于Hessian是二阶偏导数组成的，对噪声非常敏感。就像使用拉普拉斯算子进行边缘检测一样，首先进行平滑非常必要。

所以论文中首先对图像进行高斯滤波，又因为高斯滤波和求Hessian矩阵这两个操作可以同步进行,那就合并了，直接对高斯滤波矩阵求二阶导数了。

但是接下来我们分析Frangi滤波的时候一直带着这个高斯滤波器太麻烦了，我们就认定高斯滤波是单独在求Hessian之前对预处理好了。

Frangi滤波的大致步骤是：

1.求Hessian矩阵：对应函数 Hessian2D()

　　用卷积核$$G_{xx}$$对图像进行卷积操作得到$$I_{xx}$$,其中卷积核是$$\left[ \begin{matrix} 0&0&0\\1 &-2&1\\0&0&0 \end{matrix} \right] \tag{1} $$

　　以此类推得到$$I_{xy}$$和$$I_{yy}$$

2.求Hessian矩阵的两个特征值：对应函数 eig2image()

　　$$\left| \lambda E-H \right|=0$$

　　$$\left|\left[ \begin{matrix} E-I_{xx} & E-I_{xy} \\E-I_{yx} & E-I_{yy}  \end{matrix} \right]\right|=0\tag{1} $$

　　构建两个变量：$$R_{b}=\frac{ \lambda_1 }{ \lambda_2 }$$和$$S=\sqrt{R_{b}^2-\lambda_2^2}$$

　　我们可以根据图像形态把图像中的像素大致分为三类:

　　1）背景，它们的灰度分布较均匀。任意方向上曲率都较小。

　　2）孤立的点，角点，它在任意方向上的曲率都很大。

　　3）血管处，一般获取的图像中，血管这个圆珠形态沿径向方向λ2上的曲率始终较大，轴向方向λ2上较小。

3.再根据Rb和S构建响应函数：

　　$$V_o=\left| \begin{matrix}0    if \lambda_2>0 \\  (1-\frac{R_{b}^2}{2\beta^2})^2 ( 1-(  -\frac{S^2}{2c^2}  )^2  ) \end{matrix}  \right| \tag{1} $$

　　式中条件：λ2>0,这是要看我们观测的是黑色背景还是白色背景，要是白背景那就是λ2<0。这个在程序中是根据“BlackWhite”这一参数选择的。

　　可以看到A对孤立点有抑制作用，B对背景有抑制作用，最后剩下的只有血管处的信号响应强烈。

　　式中的B(贝塔，用latex公式打出来直接就换行了，所以用B代替一下)用来调节区分块状区域和条状区域的敏感程度，在程序中是“FrangiBetaOne”。

　　如果B(贝塔)很大，那么A接近1，对孤立区域抑制就减弱了。而B(贝塔)很小，A很容易受到Rb的影响趋于0，那么在血管的弯曲处，也容易被抑制。

　　c影响滤波后图像的整体平滑程度。程序中是“FrangiBetaTwo”。

　　S对血管处的响应起关键作用，如果c较大，S的变化程度相对被压制了，图像就变得平滑。c很小，把S放大了，那么滤波后的图像（也就是滤波器的响应）就变得波动较大。

　　这个滤波器只有在卷积尺度和血管宽度最接近的时候效果最好。如何确定卷积尺寸呢，最直接也是最有效的方法就是--枚举法。

　　所以程序中就是用不同的卷积尺度去做滤波，得到的多幅滤波后图像中，在每一点处选择响应值最高的结果。函数中“FrangiScaleRange”就是枚举的尺度范围。

　　这一点也很好理解。我们是用高斯卷积核的二阶导数求Hessian矩阵的。

　　高斯函数的标准差表示卷积尺度（论文中是标准差的3倍），高斯滤波是按照高斯函数给某一点处及其周围像素设定权重，加权求平均。

　　所以假设我们的卷积尺度比血管宽度大很多，那么得到的卷积结果就会被背景处拉低，因为背景处的灰度梯度变化是较小的。

　　而当卷积尺度比血管宽度小很多时，无论噪声还是块状区域都会被滤波器保留。

原文链接:https://www.cnblogs.com/isYiming/p/11111087.html
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