实际举例
下面我们举一个实际例子。如果不太明白以下例子在做什么的话，只要认为我们能够使用 Octave 这个程序来解特性值问题即可。
首先，使用恰当的编辑器制作以下 Octave 脚本。(在行尾加上分号就能消去多余的结果输出，不过，此次为了说明特意去掉了。)
% cat pagerank.m
#!/usr/bin/octave
## pagerank.m - 计算 PageRank(TM) 用的简单的 GNU Octave 脚本
##设置计时器。
tic();
## 根据PageRank 的定义，将从文件 i 链接到文件 j 的链接状态的推移概率行列定义为 M(i,j)
M = [
0, 1, 1/2, 0, 1/4, 1/2 , 0;
1/5, 0, 1/2, 1/3, 0, 0, 0;
1/5, 0, 0, 1/3, 1/4, 0, 0;
1/5, 0, 0, 0, 1/4, 0, 0;
1/5, 0, 0, 1/3, 0, 1/2, 1;
0, 0, 0, 0, 1/4, 0, 0;
1/5, 0, 0, 0, 0, 0, 0;
]
##计算 全部 M 的特性值和固有矢量列的组合。
[V，D]= eig(M)
## 保存与绝对价值最大的特性值对应的固有矢量到EigenVector。
EigenVector = V(:, find(abs(diag(D))==max(abs(diag(D)))))
## PageRank 是将 EigenVector 在概率矢量上标准化后得到的值。
PageRank = EigenVector．/ norm(EigenVector,1)
## 输出计算时间。
elapsed_time = toc()
(2003/7/23: 修正上述脚本的错误。)
误: EigenVector = V(:, find(max(abs(diag(D)))) )
正: EigenVector = V(:, find(abs(diag(D))== max(abs(diag(D)))))
用 Octave 运行这个 pagerank.m 脚本后在标准输出中得到以下结果。
% octave pagerank.m
GNU Octave, version 2.0.16 (i586-redhat-linux-gnu).
Copyright (C) 1996, 1997, 1998, 1999, 2000 John W. Eaton.
This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
For details, type `warranty'.
M =
0.00000 1.00000 0.50000 0.00000 0.25000 0.50000 0.00000
0.20000 0.00000 0.50000 0.33333 0.00000 0.00000 0.00000
0.20000 0.00000 0.00000 0.33333 0.25000 0.00000 0.00000
0.20000 0.00000 0.00000 0.00000 0.25000 0.00000 0.00000
0.20000 0.00000 0.00000 0.33333 0.00000 0.50000 1.00000
0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.25000 0.00000 0.00000
0.20000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
V =
Columns 1 through 3:
0.69946 0.00000i 0.63140 0.00000i 0.63140 0.00000i
0.38286 0.00000i -0.28715 0.15402i -0.28715 - 0.15402i
0.32396 0.00000i -0.07422 - 0.10512i -0.07422 0.10512i
0.24297 0.00000i 0.00707 - 0.24933i 0.00707 0.24933i
0.41231 0.00000i -0.28417 0.44976i -0.28417 - 0.44976i
0.10308 0.00000i 0.22951 - 0.13211i 0.22951 0.13211i
0.13989 0.00000i -0.22243 - 0.11722i -0.22243 0.11722i
Columns 4 through 6:
0.56600 0.00000i 0.56600 0.00000i -0.32958 0.00000i
0.26420 - 0.05040i 0.26420 0.05040i 0.14584 0.00000i
-0.10267 0.14787i -0.10267- 0.14787i 0.24608 0.00000i
-0.11643 0.02319i -0.11643 - 0.02319i -0.24398 0.00000i
-0.49468 - 0.14385i -0.49468 0.14385i 0.42562 0.00000i
-0.14749 0.38066i -0.14749 - 0.38066i -0.64118 0.00000i
0.03106 - 0.35747i 0.03106 0.35747i 0.39720 0.00000i
Column 7:
0.00000 0.00000i
-0.40825 0.00000i
-0.00000 0.00000i
0.00000 0.00000i
-0.00000 0.00000i
0.81650 0.00000i
-0.40825 0.00000i
D =
Columns 1 through 3:
1.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i
0.00000 0.00000i -0.44433 0.23415i 0.00000 0.00000i
0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i -0.44433 - 0.23415i
0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i
0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i
0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i
0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i
Columns 4 through 6:
0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i
0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i
0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i
0.02731 0.31430i 0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i
0.00000 0.00000i 0.02731 - 0.31430i 0.00000 0.00000i
0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i -0.16595 0.00000i
0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i 0.00000 0.00000i
Column 7:
0.00000 0.00000i
0.00000 0.00000i
0.00000 0.00000i
0.00000 0.00000i
0.00000 0.00000i
0.00000 0.00000i
-0.00000 0.00000i
EigenVector =
0.69946
0.38286
0.32396
0.24297
0.41231
0.10308
0.13989
PageRank =
0.303514
0.166134
0.140575
0.105431
0.178914
0.044728
0.060703
elapsed_time = 0.063995
Octave 的输出中，特性值被表示为对角行列 D 的对角成分，各个特性值相对应的固有矢量被表示为行列 V 对应列的列矢量。也就是说 M * V = D * M 成立。 如果包含复数特性值的话这里的特性值有7个,其中绝对价值最大的特性值 λ 是λ=1。与之相对应的固有矢量为实矢量：
EigenVector =
0.69946
0.38286
0.32396
0.24297
0.41231
0.10308
0.13989
即行列 V 的第1列。请注意，这个求得的固有矢量中概率矢量(要素的和等于1的 N 次元非负矢量)没有被标准化，只是矢量的「大小」等于 1。 用算式来表达就是，Σpi ≠1 ，Σ(pi)2＝1。 在这里，对概率矢量进行标准化
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